Chebyshev function
파프누티 체비쇼프가 발견하고 이름 붙인 두
수론적 함수를 말한다. 이 두 함수는 서로 연관되어있다.
목차
1. 정의
2. 성질
2.1. 두 함수의 연관성
2.1.1. 증명
2.2. 망골트 함수와의 연관성
2.3. 소수 계량 함수와의 연관성
2.4. 소수 정리와의 연관성
첫 번째 체비셰프 함수(first Chebyshev function)
\vartheta(1)는 다음과 같이 정의된다.
\vartheta(x):=\sum_{p\leq x}\log p
두 번째 체비셰프 함수(second Chebyshev function)
\psi는 다음과 같이 정의된다.
\psi(x):=\sum_{p^k\leq x}\log p
2.1. 두 함수의 연관성 ✎
정의에 의해 다음이 성립한다.
\psi(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{p\leq x^{1/k}}\log p=\sum_{k=1}^{\infty}\vartheta(x^{1/k})
모든 소수는 2 이상이기 때문에 위의 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
\psi(x)=\sum_{k=1}^{\left[\frac{\log x}{\log 2}\right]}\vartheta(x^{1/k})=\sum_{m\leq\log_2{x}}\vartheta(x^{1/m})
또한
x>0에 대해 다음이 성립한다.
0 \leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x} \leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2}
이는 다음을 보장한다.
\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x}\right)=0
\psi(x)=\sum_{m\leq\log_2{x}}\vartheta(x^{1/m})에서
0 \leq \psi(x)-\vartheta(x) \leq \sum_{2 \leq m \leq \log_2{x}}\vartheta(x^{1/m})
을 얻는다. 또한 정의에 의해
\vartheta(x) \leq \sum_{p \leq x}\log x \leq x\log x이므로
\begin{aligned}0 \leq \psi(x) - \vartheta(x) &\leq \sum_{2 \leq m \leq \log_2{x}} x^{1/m} \log x^{1/m} \\&\leq (\log_2{x}) \sqrt{x} \log\sqrt{x} \\&= \frac{\sqrt{x}(\log x)^2}{2 \log 2}\end{aligned}
\therefore 0 \leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x} \leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log2}
정의에 의해 다음이 성립한다.
\psi(x)=\sum_{1\leq n\leq x}\Lambda(n)
x \geq 2에 대해 다음이 성립한다.
\vartheta(x)=\pi(x)\log(x)-\int_{2}^{x}\frac{\pi(t)}{t}dt
\pi(x)=\frac{\vartheta(x)}{\log x}+\int_{2}^{x}\frac{\vartheta(t)}{t(\log t)^2}dt
체비셰프는 다음을 증명했다,
상수 c_1,c_2가 존재해서 x \geq 2에 대해 c_1x \leq \vartheta(x) \leq \psi(x) \leq \pi(x)\log x \leq c_2x가 성립한다.
또한, \liminf_{x \to \infty} \frac{\vartheta(x)}{x} = \liminf_{x \to \infty} \frac{\psi(x)}{x} = \liminf_{x \to \infty} \frac{\pi(x)\log x}{x} \geq \log 2와
\limsup_{x \to \infty} \frac{\vartheta(x)}{x} = \limsup_{x \to \infty} \frac{\psi(x)}{x} = \limsup_{x \to \infty} \frac{\pi(x)\log x}{x} \leq 4 \log 2가 성립한다.
사실, 다음 두 식은 각각
소수 정리 \lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)\log x}{x}=1과 동치이다.
\lim_{x\to\infty}\frac{\vartheta(x)}{x}=1
\lim_{x\to\infty}\frac{\psi(x)}{x}=1
